Question

【題目】如圖1，矩形中，，，以為直徑在矩形內(nèi)作半圓．

（1）若點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到的最小距離為________；

（2）如圖2，保持矩形固定不動(dòng)，將半圓繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，得到半圓，則當(dāng)半圓與相切時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與邊有交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，時(shí)即為點(diǎn)到的最小距離．推出四邊形是矩形，即可求出點(diǎn)到的最小距離；

（2）設(shè)半圓與相切于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，證明，解得，根據(jù)中，，，即可求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（3）分別求出當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)和當(dāng)與邊相切時(shí)的的值，即可求出的取值范圍．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

此時(shí)即為點(diǎn)到的最小距離．

∵四邊形是矩形，點(diǎn)在上，且，

∴四邊形是矩形，

∴，

∵，

∴．

故答案為：1.

（2）如圖2，設(shè)半圓與相切于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，

∴于點(diǎn)，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，解得，

在中，，，

∴，

∴，即；

（3）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖3，

∵，是半圓的直徑，

∴點(diǎn)在上，

∵在中，，， ，

∴由勾股定理得，

∴，

又∵當(dāng)與邊相切時(shí)，，

∴此時(shí)，

∴當(dāng)與邊有交點(diǎn)時(shí)，．