Question

【題目】已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可繞點B旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中直線CC′和AA′相交于點D．

（1）如圖1所示，當點C′在AB邊上時，判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將Rt△A′BC′由圖1的位置旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）將Rt△A′BC′由圖1的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤120°），當A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）AD=A′D，（2）仍然成立：AD=A′D（3）60°

【解析】

試題分析：（1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形，從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進而可以證到AD=DC′=A′D．

（2）解答中提供了兩種方法，分別利用相似與全等，證明所得的結(jié)論．

（3）當A、C′、A′三點在一條直線上時，有∠AC′B=90°，易證Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL），從而可以求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

試題解析：答：（1）AD=A′D．

證明：如圖1，

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，

∴BC=BC′，BA=BA′．

∵∠A′BC′=∠ABC=60°，

∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形．

∴∠BAA′=∠BC′C=60°．

∵∠A′C′B=90°，

∴∠DC′A′=30°．

∵∠AC′D=∠BC′C=60°，

∴∠ADC′=60°．

∴∠DA′C′=30°．

∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．

∴AD=DC′，DC′=DA′．

∴AD=A′D．

（2）仍然成立：AD=A′D．

證法一：利用相似．如圖2﹣1．

由旋轉(zhuǎn)可得，BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′

∵∠1=（180°﹣∠ABA′），∠3=（180°﹣∠CBC′）

∴∠1=∠3．

設(shè)AB、CD交于點O，則∠AOD=∠BOC

∴△BOC∽△DOA．

∴∠2=∠4，．

連接BD，

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA．

∴∠5=∠6．

∵∠ACB=90°，

∴∠2+∠5=90°．

∴∠4+∠6=90°，即∠ADB=90°．

∵BA=BA′，∠ADB=90°，

∴AD=A′D．

證法二：利用全等．如圖2﹣2．

過點A作AE∥A′C′，交CD的延長線于點E，則∠1=∠2，∠E=∠3．

由旋轉(zhuǎn)可得，AC=A′C′，BC=BC′，

∴∠4=∠5．

∵∠ACB=∠A′C′B=90°，

∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，

∴∠3=∠6．

∴∠E=∠6，∴AE=AC=A′C′．

在△ADE與△A′DC′中，

∴△ADE≌△A′DC′（ASA），

∴AD=A′D．

（3）當A、C′、A′三點在一條直線上時，如圖3，

則有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°．

在Rt△ACB和Rt△AC′B中，

．

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B （HL）．

∴∠ABC=∠ABC′=60°．

∴當A、C′、A′三點在一條直線上時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．