Question

平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩條直線(xiàn)l₁、l₂，直線(xiàn)l₁的解析式為y=-

2

3

x+1，如果將坐標(biāo)紙折疊，使直線(xiàn)l₁與l₂重合，此時(shí)點(diǎn)（-2，0）與點(diǎn)（0，2）也重合．
（1）求直線(xiàn)l₂的解析式；
（2）設(shè)直線(xiàn)l₁與l₂相交于點(diǎn)M，問(wèn)：是否存在這樣的直線(xiàn)l：y=x+t，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線(xiàn)l折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上？若存在，求出直線(xiàn)l的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)直線(xiàn)l₂與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P（a，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q（0，b）在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，且PQ⊥AB，若△APQ是等腰三角形，求a，b．

Answer 1

分析：（1）先求出在直線(xiàn)l₁上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后折疊再求出相應(yīng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出直線(xiàn)l₂的解析式；
（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)題中已知條件看是否存在直線(xiàn)1；
（3）求出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)△APQ是等腰三角形，且PQ⊥AB來(lái)求出a，b．

解答：解：如圖所示：
（1）∵點(diǎn)（-2，0）與點(diǎn)（0，2）重合，可知折疊痕跡為y=-x；
直線(xiàn)l₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），（1.5，0）．
可知對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（-1，0），（0，-1.5）．
設(shè)直線(xiàn)l₂解析式為：y=kx+b；
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得：

0=-k+b -1.5=b

，
解得：

k=-1.5 b=-1.5

；
則直線(xiàn)l₂的解析式為：y=-1.5x-1.5；

（2）直線(xiàn)l₁與l₂相交于點(diǎn)M，
則M的坐標(biāo)為（-3，3）；
因?yàn)橹本�(xiàn)1的斜率為k=1，
而點(diǎn)M關(guān)于斜率為1的直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在直線(xiàn)y=-x上面，
所以點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為O（0，0），
可知點(diǎn)M和點(diǎn)O關(guān)于（-1.5，1.5）對(duì)稱(chēng)，
將點(diǎn)（-1.5，1.5）代入直線(xiàn)l中可得解析式為：y=x+3；
所以存在直線(xiàn)l：y=x+3，使得如果將坐標(biāo)紙沿直線(xiàn)l折疊，點(diǎn)M恰好落在x軸上；

（3）根據(jù)直線(xiàn)l₂解析式可得A（-1，0），B（0，-1.5）；
因?yàn)镻Q⊥AB可知直線(xiàn)PQ的斜率為k=-

b

a

=

2

3

；
可設(shè)b=-2t，則a=3t，t＞0；
①AQ=PQ，則PO=AO，
所以a=1，b=-

2

3

；
②當(dāng)AP=AQ，3t+1=

1+ 4t2

?t=0或t=-

6

5

，
不合題意，舍去；
③當(dāng)AP=PQ，3t+1=

13

t，
解得t=

6+2  13

8

或t=

6-2  13

8

（舍去），a=

9+3  13

4

，b=-

3+  13

2

；
所以

a=1 b=- 2 3

或

a=  9+3  13 4 b= - 3+  13 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)于二元一次方程組的應(yīng)用以及對(duì)于對(duì)稱(chēng)圖形的掌握．