Question

（2013•高要市一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A（1，0）、C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1.5，3.125）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且在B、C兩點(diǎn)之間，問當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PBC的面積最大？并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式進(jìn)而得出答案；
（2）利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB進(jìn)而利用x表示出三角形的面積，即可利用二次函數(shù)最值得出答案．

解答：解：（1）設(shè)y=a （x+1.5）²+3.125，
把A點(diǎn)（1，0）代入上式，得：（1+1.5）²a+3.125=0，
解得：a=-0.5，
∴拋物線的解析式是：y=-0.5（x+1.5）²+3.125；

（2）連接PO，則S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB．
∵S_△OCB=

CO×BO

2

=

4×2

2

=4．
設(shè)P（x，-0.5（x+1.5）²+3.125），
∵P在第二象限；
∴S_△PBO=

|x|×2

2

=|x|=-x；
S_△PCO=

4×(-0.5(x+1.5)2+3.125)

2

=-（x+1.5）²+6.25，
S_△PBC=[-（x+1.5）²+6.25-x]-4=-x²-4x；
∴當(dāng)x=

-(-4)

2×(-1)

=-2時；S有最大值=4．
此時x_P=-2；
∴y_P=3；
∴P（-2，3）．

點(diǎn)評：此題主要考查了頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法和二次函數(shù)最值問題等知識，利用S_△PBC=（S_△PBO+S_△PCO）-S_△OCB得出是解題關(guān)鍵．