【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AC=48,點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒4個單位長的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動,當(dāng)其中一個點到達終點,另一個點也隨之停止運動,設(shè)點D、E運動的時間是t秒(t>0),過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.

(1)求證:AE=DF;
(2)當(dāng)四邊形BFDE是矩形時,求t的值;
(3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由.

【答案】
(1)

解:證明:在Rt△CDF中,∠C=30°

∴DF= CD,

∴DF= 4t=2,

又∵AE=2t,

∴AE=DF.


(2)

解:當(dāng)四邊形BFDE是矩形時,有BE=DF,

∵Rt△ABC中,∠C=30°

∴AB= AC= ×48=24,

∴BE=AB﹣AE=24﹣2t,

∴24﹣2t=2t,

∴t=6.


(3)

解:∵∠B=90°,DF⊥BC

∴AE∥DF,∵AE=DF,

∴四邊形AEFD是平行四邊形,

由(1)知:四邊形AEFD是平行四邊形

則當(dāng)AE=AD時,四邊形AEFD是菱形

∴2t=48﹣4t,

解得t=8,又∵t≤ = =12,

∴t=8適合題意,

故當(dāng)t=8s時,四邊形AEFD是菱形.


【解析】(1)由∠DFC=90°,∠C=30°,證出DF=2t=AE;(2)當(dāng)四邊形BEDF是矩形時,△DEF為直角三角形且∠EDF=90°,求出t的值即可;(3)先證明四邊形AEFD為平行四邊形.得出AB=3,AD=AC﹣DC=48﹣4t,若△DEF為等邊三角形,則四邊形AEFD為菱形,得出AE=AD,2t=48﹣4t,求出t的值即可;

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觀察圖23-2可知:與BC相等的線段是 ,∠CAC′= 度.

(2)問題探究

如圖23-3,△ABC中,AG⊥BC于點G,以A為直角頂點,分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過點E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q. 試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(3)拓展延伸

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