Question

20．如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AD，E、F、G分別是OC、OD、AB的中點，下列結論：①∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO；②EG=EF；③GF平分∠AGE；④EF⊥GE，其中正確的是①②③．

Answer 1

分析 根據平行四邊形的性質可得∠ADB=∠DBC，再證明△BOC是等腰三角形，根據等腰三角形的性質可得∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBC，進而得到∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO；首先證明EG=$\frac{1}{2}$AB，再根據三角形中位線的性質可得EF=$\frac{1}{2}$CD，進而得到EG=EF；證明EF∥AB，根據平行線的性質可得∠EFG=∠AGF，再根據等邊對等角可得∠EFG=∠EGF，進而得到∠EGF=∠AGF．然后利用排除法可得A正確．

解答 ①②③解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，DO=BO=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO，
∴BC=BO，
∵E是CO中點，
∴∠OBE=$\frac{1}{2}$∠OBC，
∴∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ADO，故①正確；
②∵BC=BO，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中點，
∴EB⊥CO，
∴∠BEA=90°，
∵G為AB中點，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，
∵E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$CD
∴EG=EF，故②正確；
③∵，E、F分別是OC、OD的中點，
∴EF∥DC，
∵DC∥AB，
∴EF∥AB，
∴∠EFG=∠AGF，
∵EF=EG，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠AGF，
∴GF平分∠AGE，故③正確；
故答案為：①②③．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質、直角三角形的性質、三角形中位線的性質、等腰三角形的性質，關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質．