Question

觀察下面的一列數(shù)：

1

2

，-

1

6

，

1

12

，-

1

20

…請你找出其中排列的規(guī)律，并按此規(guī)律填空：
（1）第9個數(shù)是

 

，第14個數(shù)是

 

．
（2）若n是大于1的整數(shù)，按上面的排列規(guī)律，那么第n個數(shù)是

 

？（用含n的代數(shù)式表達）

Answer 1

分析：（1）已知的一列數(shù)等價為：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…可以發(fā)現(xiàn)分子永遠為1，分母是兩個相鄰數(shù)的乘積，且其中一個為項的序號，奇數(shù)項永遠為正數(shù)，偶數(shù)項永遠為負數(shù)，由此規(guī)律推出第9個數(shù)和第14個數(shù)；
（2）根據(jù)規(guī)律寫出通項公式為（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

．

解答：解：（1）題中的一列數(shù)可以等價為：

1

1×2

，-

1

2×3

，

1

3×4

，-

1

4×5

…
經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)：各項的分子均為1，分母為各項的序號數(shù)×（各項序號數(shù)+1），
且奇數(shù)項是正數(shù)，偶數(shù)項是負數(shù)．
所以可以得出第n個數(shù)是（-1）ⁿ⁺¹

1

n(n+1)

，n≥1；
即：第9個數(shù)為：（-1）¹⁰×

1

9×10

=

1

90

，第14個數(shù)為：（-1）¹⁵×

1

14×15

=-

1

210

；
（2）第n個數(shù)是：(-1)n+1

1

n(n+1)

．
故答案為：

1

90

，-

1

210

；(-1)n+1

1

n(n+1)

．

點評：本題是規(guī)律型，主要考查通過原來一列數(shù)的等價變換，得出各項的變化規(guī)律及由變化寫出求任意一項時的規(guī)律式．