如圖，已知點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠BCD=∠A，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=
4
5
，則AC的長(zhǎng)為（　�。�
分析：連結(jié)OC，在Rt△DCE中利用cosD=
DE
DC
=
4
5
，可設(shè)DE=4x，則DC=5x，于是CE=3x=8，解得x=
8
3
得到DE=
32
3
，DC=
40
3
，根據(jù)圓周角定理AB為直徑得到∠ACB=90°，利用∠A=∠BCD可得到∠OCD=90°，在Rt△OCD中，根據(jù)cosD=
CD
OD
=
4
5
=
40
3
OD
，解得OD=
50
3
，則OE=OD-DE=6，接著根據(jù)勾股定理計(jì)算出OC，然后再次利用勾股定理計(jì)算AC．
解答：解：連結(jié)OC，如圖，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD=
DE
DC
=
4
5
，
設(shè)DE=4x，則DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=
8
3
，
∴DE=
32
3
，DC=
40
3
，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD=
CD
OD
=
4
5
=
40
3
OD
，解得OD=
50
3
，
∴OE=OD-DE=
50
3
-
32
3
=6，
在Rt△OCE中，OC=
OE2+CE2
=10，
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC=
AE2+CE2
=
162+82
=8
5
．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了圓周角定理和解直角三角形．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

25、如圖，已知點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，以AC和BC為邊在AB同側(cè)作正△ACM和正△BCN，連接AN，BM，分別交CM，CN于點(diǎn)P，G，連接PG．求證：PG∥AB．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

6、問(wèn)題：“如圖，已知點(diǎn)O在直線(xiàn)l上，以線(xiàn)段OD為一邊畫(huà)等腰三角形，且使另一頂點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，則滿(mǎn)足條件的A點(diǎn)有幾個(gè)？”．我們可以用圓規(guī)探究，按如圖的方式，畫(huà)圖找到4個(gè)點(diǎn)：A1、A2、A3、A4．這種問(wèn)題說(shuō)明的方式體現(xiàn)了（　�。┑臄�(shù)學(xué)思想方法．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•河西區(qū)二模）如圖①，已知點(diǎn)D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M為EC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．
（思路點(diǎn)撥：考慮M為EC的中點(diǎn)的作用，可以延長(zhǎng)DM交BC于N，構(gòu)造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以證明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底邊的中線(xiàn)就可以了．）請(qǐng)你完成證明過(guò)程：
（2）將△ADE繞點(diǎn)A再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)（如圖②所示位置），△BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：單選題

如圖，已知點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠BCD=∠A，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=數(shù)學(xué)公式，則AC的長(zhǎng)為


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    10
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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