(2011•徐匯區(qū)二模)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5.E為底邊BC上一點(diǎn),以點(diǎn)E為圓心,BE為半徑畫⊙E交線段DE于點(diǎn)F.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)F在線段DE上時(shí),設(shè)BE=x,DF=y,試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)以CD為直徑的⊙O與⊙E相切時(shí),求x的值;
(3)連接AF、BF,當(dāng)△ABF是以AF為腰的等腰三角形時(shí),求x的值.

【答案】分析:(1)想要建立線段與線段之間的函數(shù)關(guān)系式,就要想辦法將這些線段構(gòu)造在一個(gè)圖形中,故我們可過點(diǎn)D作DG⊥BC交點(diǎn)G,利用圓與直線的位置關(guān)系和勾股定理,即可容易的得出函數(shù)關(guān)系式.
(2)本題主要是分情況來討論,①是外切;②是內(nèi)切;分別根據(jù)各相切之間的關(guān)系及函數(shù)關(guān)系式即可得出x的值.
(3)這一問主要是利用數(shù)據(jù)線的全等、勾股定理以及以求得的函數(shù)關(guān)系式來進(jìn)行解答.
解答:解:(1)如圖1,過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.
可得DG=AB=4,BG=AD,GC=3,BC=8,EG=5-x;
在Rt△DEG中,
∴DE2=EG2+DG2,即(x+y)2=42+(5-x)2;
∴y=(負(fù)值舍去)
定義域:0<x≤4.1;

(2)設(shè)CD的中點(diǎn)O,連接EO,過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H.
OC=,OH=2,HC=,EH=8-x-
①⊙O與⊙E外切時(shí),OE=x+
在Rt△OEH中,OE2=OH2+EH2,
∴22+(8-x-2=(x+2
∴4+x2-13x+=x2+5x+
∴18x=40,
化簡并解得x=;
②⊙O與⊙E內(nèi)切時(shí),OE=|x-|
在Rt△OEH中,OE2=OH2+EH2
∴22+(8-x-2=(x-2,
∴4+x2-13x+=x2-5x+
∴8x=40,
化簡并解得x=5;
綜上所述,當(dāng)⊙O與⊙D相切時(shí),x=5或;

(3)如圖2,連接AF,AE,
當(dāng)AF=AB=4時(shí),由BE=EF,AE=AE,有△ABE和△AEF全等,
∴∠AFE=∠ABE=90°,即AF⊥DE
在Rt△AFD中,DF==3;
由y==3,解得x=2;
如圖3,當(dāng)FA=FB時(shí),過點(diǎn)F作QF⊥AB于點(diǎn)Q,有AQ=BQ,且AD∥BC∥FQ,
∴DF=EF,=x,x=(負(fù)值舍去);
綜上所述,當(dāng)△ABF是以AF為腰的等腰三角形時(shí),
x=2或
點(diǎn)評:本題綜合考查了學(xué)生對梯形和圓之間的位置關(guān)系,利用切線的性質(zhì)和函數(shù)關(guān)系式,以及合理的輔助線,方可對本題有一個(gè)完善的解答,本題具有一定的難度,屬于壓軸性題目,望同學(xué)們多加練習(xí)和總結(jié).
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(1)求直線AD和拋物線的解析式;
(2)拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)F,點(diǎn)Q為直線AD上一點(diǎn),且△ABQ與△ADF相似,直接寫出點(diǎn)Q點(diǎn)的坐標(biāo).

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(2)若OB=BG,求證:四邊形OCBD是菱形.

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