Question

【題目】已知線段AB＝8（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）

（1）若在直線AB上取一點(diǎn)C，使得AC＝3CB，點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)；

（2）若M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明PA+PB﹣2PM是一個(gè)定值．

Answer 1

【答案】（1）AD的長(zhǎng)為7或10；（2）PA+PB﹣2PM是一個(gè)定值0．說(shuō)明見(jiàn)解析

【解析】

（1）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖1，②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，③當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，明顯，次情況不存在；列方程即可得到結(jié)論；

（2）如圖3，設(shè)BP＝x，則PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，代入PA+PB﹣2PM即可得到結(jié)論．

（1）①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖1，

∵AC＝3BC，

設(shè)BC＝x，則AC＝3x，

∵AB＝AC+BC，

∴8＝3x+x，

∴x＝2，

∴BC＝2，AC＝6，

∵點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，

∴CD＝BD＝BC＝1，

∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；

②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

設(shè)BC＝x，AC＝3BC＝3x，

∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，

∴x＝4，

∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，

∵點(diǎn)D是CB的中點(diǎn)，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；

③當(dāng)點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，明顯，次情況不存在；

綜上所述，AD的長(zhǎng)為7或10；

（2）如圖3，

設(shè)BP＝x，則PA＝AB+BP＝8+x，PM＝AB+BP＝4+x，

∴PA+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，

∴PA+PB﹣2PM是一個(gè)定值0．