Question

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．小明學(xué)習(xí)上愛動(dòng)腦，在計(jì)算

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…的值時(shí)構(gòu)造了這樣一個(gè)圖形：如圖，正△ABC面積為

1

3

，分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)D、E，再分別取CD、CE的中點(diǎn)，依次取下去…，能直觀地求出它的值．也請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)圖形計(jì)算：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=______．

Answer 1

設(shè)第n個(gè)小三角形的面積為s_n，則s_n=

4-n

3

根據(jù)中位線定理，得出小三角形的面積是對(duì)應(yīng)梯形面積的

1

3

即s_n=

1

3

•

4-n-1-4-n

3

=

4-n-1-4-n

9

那么，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

1

9

（1-4^-1+4^-1-4^-2+…+4^-n-2-4^-n-1+4^-n-1-4^-n）=

1-4-n

9

同時(shí)，s₁+s₂+s₃+…+s_n=

4-1+4-2+4-3+…+4-n

3

以上兩式聯(lián)立解得：

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

+…=

1-4-n

3