【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O且AB=AC,延長BC至點(diǎn)D,使CD=CA,連接AD交⊙O于點(diǎn)E,連接BE、CE.
(1)求證:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為 時(shí),四邊形AOCE是菱形;
②若AE=6,EF=4,DE的長為 .
【答案】(1)證明見解析(2)①60°;②9
【解析】
(1)根據(jù)AAS證明兩三角形全等;
(2)①先證明∠AOC=∠AEC=120°,∠OAE=∠OCE=60°,可得AOCE,由OA=OC可得結(jié)論;②證明△AEF∽△DEC,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可.
(1)∵AB=AC,CD=CA,
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ECD=∠BAE,∠CED=∠ABC,
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,
∴∠CED=∠AEB,
∴△ABE≌△CDE(AAS);
(2)①當(dāng)∠ABC的度數(shù)為60°時(shí),四邊形AOCE是菱形;
理由是:連接AO、OC,
∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ABC=60,
∴∠AEC=120°=∠AOC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵AB=AC,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACB=∠CAD+∠D,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°,
∴∠OAE=∠OCE=60°,
∴四邊形AOCE是平行四邊形,
∵OA=OC,
∴AOCE是菱形;
②∵△ABE≌△CDE,
∴AE=CE=5,BE=ED,
∴∠ABE=∠CBE,∠CBE=∠D,
又∵∠EAC=∠CBE,
∴∠EAC=∠D.
又∵∠CED=∠AEB,
∴△AEF∽△DEC,
∴,即,解得DE=9.
故答案為:①60°;②9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB交于點(diǎn)E,連接AD,過點(diǎn)A作直線MN,使∠MAC=∠ADC.
(1)求證:直線MN是⊙O的切線.
(2)若sin∠ADC=,AB=8,AE=3,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 某單位需要購買一些鋼筆和筆記本.若購買2支鋼筆和1本筆記本需42元,購買3支鋼筆和2本筆記本需68元.
(1)求買一支鋼筆要多少錢?
(2)若購買了鋼筆和筆記本共50件,付款可能是810元嗎?說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校(1)班40個(gè)同學(xué)每10人一組,每人做10次拋擲兩枚硬幣的實(shí)驗(yàn),想看看“出現(xiàn)兩個(gè)正面”的頻率是否會(huì)逐漸穩(wěn)定下來,得到了下面40個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果.
第一組學(xué)生學(xué)號(hào) | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
兩個(gè)正面成功次數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 6 | 3 | 3 |
第二組學(xué)生學(xué)號(hào) | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
兩個(gè)正面成功次數(shù) | 1 | 1 | 3 | 2 | 3 | 4 | 2 | 3 | 3 | 3 |
第三組學(xué)生學(xué)號(hào) | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 |
兩個(gè)正面成功次數(shù) | 1 | 0 | 3 | 1 | 3 | 3 | 3 | 2 | 2 | 2 |
第四組學(xué)生學(xué)號(hào) | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
兩個(gè)正面成功次數(shù) | 2 | 2 | 1 | 4 | 2 | 4 | 3 | 2 | 3 | 3 |
(1)學(xué)號(hào)為113的同學(xué)在他10次實(shí)驗(yàn)中,成功了幾次?成功率是多少?他是他所在小組同學(xué)中成功率最高的人嗎?
(2)學(xué)號(hào)為116和136的兩位同學(xué)在10次實(shí)驗(yàn)中成功率一樣嗎?如果他們兩人再做10次實(shí)驗(yàn),成功率依然會(huì)一樣嗎?
(3)怎么計(jì)算每一組學(xué)生的集體成功率?哪一組成功率最高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥EF,DC⊥EF,垂足分別為B、C,且AB=CD,BE=CF.AF、DE相交于點(diǎn)O,AF、DC相交于點(diǎn)N,DE、AB相交于點(diǎn)M.
(1)請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰三角形;
(2)求證:△ABF≌△DCE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,組織學(xué)生參觀了虎園、烈士陵園、博物館和植物園,為了解本次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的效果,學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,對(duì)“最喜歡的景點(diǎn)”進(jìn)行了問卷調(diào)查,并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.其中最喜歡烈士陵園的學(xué)生人數(shù)與最喜歡博物館的學(xué)生人數(shù)之比為2:1,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次活動(dòng)抽查了 名學(xué)生;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,最喜歡植物園的學(xué)生人數(shù)所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角是 度;
(4)該校此次參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生有720人,請(qǐng)求出最喜歡烈士陵園的人數(shù)約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形紙片ABCD中,AB=4,∠A=60°,將菱形紙片翻折,使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊AB、AD上.則sin∠EFG的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校初三(1)班部分同學(xué)接受一次內(nèi)容為“最適合自己的考前減壓方式”的調(diào)查活動(dòng),收集整理數(shù)據(jù)后,老師將減壓方式分為五類,并繪制了圖1、圖2兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問題.
(1)初三(1)班接受調(diào)查的同學(xué)共有多少名;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中的“體育活動(dòng)C”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù);
(3)若喜歡“交流談心”的5名同學(xué)中有三名男生和兩名女生;老師想從5名同學(xué)中任選兩名同學(xué)進(jìn)行交流,直接寫出選取的兩名同學(xué)都是女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)某學(xué)校“智慧方園”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目:
如圖1,在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=,BO:CO=1:3,求AB的長.
經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn),過點(diǎn)B作BD∥AC,交AO的延長線于點(diǎn)D,通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題(如圖2).
請(qǐng)回答:∠ADB= °,AB= .
(2)請(qǐng)參考以上解決思路,解決問題:
如圖3,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的長.
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