Question

如圖，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，對(duì)角線BD、AC交于點(diǎn)O．將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．
（1）試說(shuō)明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AF與CE總保持相等；
（2）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；
（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能請(qǐng)說(shuō)明理由；如果能，求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，對(duì)角線互相平分可得OA=OC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△AOF和△COE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到AF=CE；
（2）根據(jù)垂直的定義可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥EF，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行求出AF∥BE，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形BEDF平行四邊形，再求出對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形；根據(jù)勾股定理列式求出AC=2，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義求出旋轉(zhuǎn)角即可．

解答：解：（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由題意，∠AOF=90°（如圖2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形；

（3）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形（如圖3）．
∵?ABCD，AF=CE，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
又∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=

5 2-12

=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠1=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，
即：旋轉(zhuǎn)角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟練掌握平行四邊形，菱形的聯(lián)系與區(qū)別是解題的關(guān)鍵．