Question

（2006•遵義）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），PE上BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E．
（1）△ABP和△DPE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）請(qǐng)你探索在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BPE能否構(gòu)成等腰三角形？如果能．求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABP和△DPE是相似的，∵∠A=∠D=90°，而∠BPE=90°，根據(jù)這兩個(gè)條件可以證明它們相似；
（2）根據(jù)（1）得到，根據(jù)這個(gè)結(jié)論就可以求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）能構(gòu)成矩形，∵四邊形ABED已經(jīng)是直角梯形，若AB=DE它就是矩形，根據(jù)這個(gè)條件和（2）中函數(shù)關(guān)系式可以求出AP長(zhǎng)；
（4）能構(gòu)成等腰三角形，當(dāng)AP=DE時(shí)，△ABP≌△DPE，這樣可以得到BP=PE，此時(shí)△BPE為等腰三角形，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式就可以求出AP長(zhǎng)．
解答：解：（1）△ABP∽△DPE．

（2）由（1）△ABP∽△DPE，
∴∴，
∴y=-x²+x（0＜x＜5）．

（3）能構(gòu)成矩形．
當(dāng)DE=AB=2時(shí)，∵AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∵∠A=90°，
∴平行四邊形ABED為矩形．
由（2）有-x²+x=2．x₁=1，x₂=4．
∴當(dāng)AP=1或AP=4時(shí)，ABED是矩形．（9分）

（4）能構(gòu)成等腰三角形．
當(dāng)AP=DE時(shí)，△ABP≌△DPE，此時(shí)△BPE為等腰三角形．（1O分）
即-x²+x=x．解之得x₁=3，x₂=0（舍去）．
即AP=3時(shí)，△BPE是等腰三角形（答等腰直角三角形同樣正確）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題把相似三角形的判定與性質(zhì)和梯形結(jié)合起來(lái)，綜合性比較強(qiáng)，還利用了函數(shù)中求自變量和函數(shù)值解題