Question

（2013•咸寧）為鼓勵(lì)大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺(tái)了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價(jià)提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)由政府承擔(dān)．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價(jià)為每件10元，出廠價(jià)為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個(gè)月將銷售單價(jià)定為20元，那么政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為多少元？
（2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤？
（3）物價(jià)部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價(jià)不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔(dān)的成本價(jià)與出廠價(jià)之間的差價(jià)；
（2）由利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)，得w=（x-10）（-10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；
（3）令-10x²+600x-5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤的范圍，然后設(shè)設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價(jià)的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)x=20時(shí)，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600元，
即政府這個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為600元．

（2）依題意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000
∵a=-10＜0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值4000元．
即當(dāng)銷售單價(jià)定為30元時(shí)，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）由題意得：-10x²+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當(dāng)20≤x≤40時(shí)，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當(dāng)20≤x≤25時(shí)，w≥3000．
設(shè)政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)為p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=25時(shí)，p有最小值500元．
即銷售單價(jià)定為25元時(shí)，政府每個(gè)月為他承擔(dān)的總差價(jià)最少為500元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．