Question

如圖，二次函數(shù)y=-

1

36

ax2+

1

4

ax+a（a＞0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B、C，過A點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，線段OC上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接DP，作PE⊥DP，交y軸于點(diǎn)E．問題：
（1）當(dāng)a變化時(shí)，線段AD的長是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出AD的長；
（2）若a為定值，設(shè)OP=x，OE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若在線段OC上存在不同的兩點(diǎn)P₁、P₂使相應(yīng)的點(diǎn)E₁、E₂都與點(diǎn)A重合，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而可表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)A、D的坐標(biāo)，即可判斷出AD的長是否為定值．
（2）過D作DF⊥x軸于F，可用x表示出PF的長，而DF=a，利用△PEO∽△DPF得到的比例線段即可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式，要注意的是在用x表示PF長的時(shí)候，要分兩種情況討論：①點(diǎn)E在x軸上方時(shí)，②點(diǎn)E在x軸下方時(shí)．
（3）若E、A重合，那么OE=y=a，將其代入（2）題得到的y、x的函數(shù)關(guān)系式中，可得到關(guān)于x的方程，由于不同的兩點(diǎn)P₁、P₂使相應(yīng)的點(diǎn)E₁、E₂都與點(diǎn)A重合，那么方程的判別式△＞0，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（1）DA的長度不變；
由拋物線的解析式知，其對(duì)稱軸為：x=

9

2

；
易知A（0，a），則D（9，a），
故AD=9．

（2）易求得B（-3，0），C（12，0）；
①當(dāng)0＜x＜9時(shí)，過D作DF⊥OC于F，
則FC=OC-AD=3，PF=9-x；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

9-x

y

=

a

x

，
即y=-

1

a

x²+

9

a

x；
②當(dāng)9＜x＜12時(shí)，點(diǎn)E在x軸的下方，過D作DF⊥OC于F；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

y

x-9

=

x

a

，
即y=-

1

a

x²-

9

a

x；

（3）當(dāng)y=a時(shí)，a=-

1

a

x²+

9

a

x，化為x²-9x+a²=0；
由題意得：△＞0，
即9²-4a²＞0，
又因?yàn)閍＞0，
所以0＜a＜

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性、相似三角形的判定和性質(zhì)、根的判別式等知識(shí)；（2）題考慮問題要全面，不要遺漏點(diǎn)E在x軸下方的情況．