Question

【題目】如圖，已知正方形的邊長為，點是邊上的一個動點，連接，過點作的垂線交于點，以為邊作正方形，頂點在線段上，對角線、相交于點.（1）若，則 ；

（2）①求證：點一定在的外接圓上；

②當(dāng)點從點運動到點時，點也隨之運動，求點經(jīng)過的路徑長；

（3）在點從點到點的運動過程中，的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到邊的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②2；（3） .

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，然后根據(jù)垂直的性質(zhì)和直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)得到∠AEP=∠BPC，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證得△APE∽△BCP，最后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可；

（2）①證明A、P、O、E四點共圓，即可得出結(jié)論；

②連接OA、AC，由勾股定理得到AC的長，由圓周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，點O在AC上，當(dāng)點P運動到點B時，O為AC 的中點，即可求解；

（3）設(shè)△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，由三角形中位線定理得到MN=AE，設(shè)AP=x，則BP=4-x，由（1）中的相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，求出AE= x-x2=-（x-2）2+1，由二次函數(shù)的最值求出AE的最大值為1，然后可求MN的值.

（1）解：∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠BPC，

∴△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=；

（2）①證明：∵PF⊥EG，

∴∠EOP=90°，

∴∠EOP+∠A=180°，

∴A、P、O、E四點共圓，

∴點O一定在△APE的外接圓上；

②解：連接OA、AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠BAC=45°，

∴AC=，

∵A、P、O、E四點共圓，

∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴點O在AC上，

當(dāng)P運動到點B時，O為AC的中點，OA=AC=2，

即點O經(jīng)過的路徑長為2；

（3）解：設(shè)△APE的外接圓的圓心為M，作MN⊥AB于N，如圖2所示：

則MN∥AE，

∵ME=MP，

∴AN=PN，

∴MN=AE，

設(shè)AP=x，則BP=4-x，

由（1）得：△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=x-x2=-（x-2）2+1，

∴x=2時，AE的最大值為1，此時MN的值最大=×1=，即△APE的圓心到AB邊的距離的最大值為.