Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線BE、CF相交于點I，

（1）∠BIC＝120°,求∠A的度數(shù)

（2）當∠BIC＝135°，則∠A= 。

（3）請你用數(shù)學(xué)表達式歸納出∠BIC與∠A的關(guān)系式，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）60° （2）120° （3）∠BIC=90°+∠A.或∠A =2∠BIC - 180°

【解析】試題（1）根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，可以知道∠A=;(2)總結(jié)上述的規(guī)律可得出∠A的值；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用 ∠A表示出

∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠IEC+∠ICE，然后再利用三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

試題解析：

（1）由題意得，∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分線，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分線定義)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A

（2）由題意得，∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分線，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分線定義)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A

(3) 根據(jù)上述規(guī)律可得，∠BIC=90°+∠A.或∠A =2∠BIC - 180°

理由如下：

∵∠BIC是△CEI的外角，

∴∠BIC=∠IEC+∠ICE(三角形外角定理)，

∵∠IEC是△ABE的外角，

∴∠IDC=∠A+∠ABD(三角形外角定理)，

∵BI、CI是∠ABC、∠ACB的平分線，

∴∠ABE= ∠ABC,∠ICE=∠ACB(角平分線定義)，

∴∠BIC= (∠ABC+∠ACB)+∠A= (∠A)+∠A=+∠A.