Question

（2012•天津）已知反比例函數(shù)y=

k-1

x

（k為常數(shù)，k≠1）．
（Ⅰ）其圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的一個交點(diǎn)為P，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2，求k的值；
（Ⅱ）若在其圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若其圖象的一支位于第二象限，在這一支上任取兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當(dāng)y₁＞y₂時，試比較x₁與x₂的大�。�

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2），由點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上可求出m的值，進(jìn)而得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=

k-1

x

的圖象上，所以2=

k-1

2

，解得k=5；
（2）由于在反比例函數(shù)y=

k-1

x

圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，故k-1＞0，求出k的取值范圍即可；
（3）反比例函數(shù)y=

k-1

x

圖象的一支位于第二象限，故在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，所以A（x₁，y₁）與點(diǎn)B（x₂，y₂）在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y₁＞y₂，故可知x₁＞x₂．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）
∵點(diǎn)P在正比例函數(shù)y=x的圖象上，
∴2=m，即m=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=

k-1

x

的圖象上，
∴2=

k-1

2

，解得k=5．

（Ⅱ）∵在反比例函數(shù)y=

k-1

x

圖象的每一支上，y隨x的增大而減小，
∴k-1＞0，解得k＞1．

（Ⅲ）∵反比例函數(shù)y=

k-1

x

圖象的一支位于第二象限，
∴在該函數(shù)圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．
∵點(diǎn)A（x₁，y₁）與點(diǎn)B（x₂，y₂）在該函數(shù)的第二象限的圖象上，且y₁＞y_2，
∴x₁＞x₂．

點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵．