Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P與圖形W,若點Q為圖形W上任意一點，點Q關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點為Q,且線段PQ,的中點為M（m,0）,則稱點P是圖形W關(guān)于點M（m,0）的“關(guān)聯(lián)點”.

（1）如圖1，若點P是點Q(0,)關(guān)于原點的關(guān)聯(lián)點，則點P的坐標(biāo)為 ;

（2）如圖2，在△ABC中，A（2,2），B（-2,0），C（0，-2），

①將線段AO向右平移d（d>0）個單位長度，若平移后的線段上存在兩個△ABC關(guān)于點（2,0）的關(guān)聯(lián)點，則d的取值范圍是 .

②已知點S（n+2,0）和點T（n+4,0）,若線段ST上存在△ABC關(guān)于點N（n,0）的關(guān)聯(lián)點，求n的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）①；②或.

【解析】

（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)“關(guān)聯(lián)點”的定義、中點的坐標(biāo)公式和關(guān)于第一三象限角平分線對稱的兩點坐標(biāo)規(guī)律即可求出；

（2）①先求出原AC與x軸的交點，然后根據(jù)△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線和“關(guān)聯(lián)點”的定義可得：“關(guān)聯(lián)點”定義中Q為OA關(guān)于（2,0）的對稱線段OA與△ABC邊的交點，平移線段OA可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)A在C左側(cè)，O過點（）或在（）右側(cè)時符合題意，最后列不等式即可；

②由S、T的坐標(biāo)可知：線段ST是x軸的一部分，線段ST關(guān)于N點的對稱線段S T也是x軸的一部分，從而判斷出定義中Q是△ABC邊與x軸的交點，由圖可知：點Q只有（-2，0）和（1,0）兩種可能，再根據(jù)線段S T需過（-2，0）或（1,0）分類討論并列不等式即可.

解：（1）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b）

∵點Q關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點為Q

∵根據(jù)關(guān)于第一三象限角平分線對稱的兩點坐標(biāo)規(guī)律：點Q的橫坐標(biāo)為點Q的縱坐標(biāo)，點Q的縱坐標(biāo)為點Q的橫坐標(biāo)

∴點Q的坐標(biāo)為：（，0）

∴點P是點Q(0,)關(guān)于原點的關(guān)聯(lián)點

∴P Q的中點為原點

∴

解得：

故P點坐標(biāo)為：（，0）；

（2）設(shè)原AC的解析式為y=kx＋b

將A、C兩點坐標(biāo)代入：

解得：

∴原直線AC的解析式為：y=2x-2

當(dāng)y=0時，解得：x=1

故原AC與x軸的交點為（1,0）

由圖可知：△ABC是軸對稱圖形，且對稱軸為第一、三象限角平分線

由“關(guān)聯(lián)點”的定義可知：定義中Q在△ABC邊上

∴點Q也在△ABC邊上

∵將線段AO向右平移d（d>0）個單位長度，若平移后的線段上存在兩個△ABC關(guān)于點（2,0）的關(guān)聯(lián)點，

∴點Q和線段OA上的點必關(guān)于點（2,0）對稱，此時O點坐標(biāo)為（d，0），A點坐標(biāo)為（2＋d，2）

故作出OA關(guān)于（2,0）的對稱線段OA，其中O坐標(biāo)為（4－d，0），A坐標(biāo)為（2－d，－2），Q也必在OA上

即點Q為OA與△ABC邊的交點，

∵線段上存在兩個△ABC關(guān)于點（2,0）的關(guān)聯(lián)點，

∴OA與△ABC邊必須有兩個交點才滿足題意

如圖中藍(lán)線所示，平移OA可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A與C重合時，與△ABC邊有一個交點，繼續(xù)向左平移即可有兩個交點，當(dāng)O過點（）也有兩個交點，繼續(xù)向左平移就只有一個交點

故當(dāng)A在C左側(cè)，O過點（）或在（）右側(cè)時符合題意

∴

解得：.

②∵點S（n+2,0）和點T（n+4,0）

∴線段ST是x軸的一部分

∵線段ST上存在△ABC關(guān)于點N（n,0）的關(guān)聯(lián)點

∴故S、T關(guān)于點N（n,0）的對稱點S坐標(biāo)為（n－2,0），T坐標(biāo)為（n－4,0），定義中Q在線段S T上（x軸上），

∴Q即為△ABC邊與x軸的交點

由圖可知，點Q只有（-2，0）和（1,0）兩種可能

∴線段S T需過（-2，0）或（1,0）

當(dāng)S T過（-2，0）時

解得：；

當(dāng)S T過（1，0）時

解得：.

綜上所述：或.