Question

已知拋物線．

1.求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

2.若拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

3.在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

 

1.∵拋物線∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

2.拋物線與與x軸的兩交點(diǎn)為A(-1,0) ，B（2，0）．

設(shè)線段BM所在直線的解析式為．

∴解得 ∴線段BM所在直線的解析式為．  

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．∵點(diǎn)N在線段BM上，∴. ∴．

∴S_{四邊形NQAC}＝S_△AOC＋S_梯形OQNC．

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為，自變量t的取值范圍為．

3.假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，n），則且．

，，．

分以下幾種情況討論：

①若∠PAC＝90°，則．∴

解得， ．∵ ．∴．∴．         

②若∠PCA＝90°，則．∴

解得，．∵，∴．∴．

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，PA＞AC，所以邊AC的對(duì)角∠APC不可能是直角．

∴存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為，．

            

解析:略