Question

【題目】已知：半徑為1的⊙O1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，圓心O1的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為F．

（1）求b、c的值及二次函數(shù)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（2）寫出將二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象向下平移1個單位再向左平移2個單位的圖象的函數(shù)表達(dá)式；

（3）經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與⊙O相切，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）b=4 ， c=-3，F(xiàn)（2，1） （2）y=﹣ （3）y=﹣x

【解析】

（1）根據(jù)⊙O1的半徑和圓心的坐標(biāo)，可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中，可求出b、c的值．進(jìn)而可根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（2）將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，然后再按題目給出的步驟，一步一步的進(jìn)行平移．
（3）過原點(diǎn)的直線是正比例函數(shù)，只需求得直線與圓的切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定直線l的解析式．（根據(jù)圓的對稱性可知，符合條件的直線l應(yīng)該有兩條）

解：（1）由已知得：A（1，0），B（3，0）

由題意：

解得：

∴y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1

∴頂點(diǎn)F（2，1）

（2）y=﹣x2

（3）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l：y=kx（k≠0）與⊙O1相切于點(diǎn)C

則O1C⊥OC，OO1=2，O1C=1

∴OC=，∠O1OC=30°

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（xc，yc）

則

∴ k，得k=

∴y=x

由圓的對稱性，另一條直線l的解析式是y=﹣x．