Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．給出以下判斷：

①AC垂直平分BD；

②四邊形ABCD的面積S=ACBD；

③順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形可能是正方形；

④當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，該圓的半徑為；

⑤將△ABD沿直線BD對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，當(dāng)BF⊥CD時(shí)，點(diǎn)F到直線AB的距離為．

其中正確的是_____．（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】依據(jù)AB=AD=5，BC=CD，可得AC是線段BD的垂直平分線，故①正確；依據(jù)四邊形ABCD的面積S=，故②錯(cuò)誤；依據(jù)AC=BD，可得順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，故③正確；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，設(shè)該圓的半徑為r，則r2=（r﹣3）2+42，得r=，故④正確；連接AF，設(shè)點(diǎn)F到直線AB的距離為h，由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依據(jù)S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，可得DF=，進(jìn)而得出GF=，再根據(jù)S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=，故⑤錯(cuò)誤．

∵在四邊形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，

∴AC是線段BD的垂直平分線，故①正確；

四邊形ABCD的面積S=，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)AC=BD時(shí)，順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形，故③正確；

當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，設(shè)該圓的半徑為r，則r2=（r﹣3）2+42，

得r=，故④正確；

將△ABD沿直線BD對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，如圖所示，

連接AF，設(shè)點(diǎn)F到直線AB的距離為h，

由折疊可得，四邊形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，

∴AO=EO=3，

∵S△BDE=×BD×OE=×BE×DF，

∴DF=，

∵BF⊥CD，BF∥AD，

∴AD⊥CD，GF=，

∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，

∴×5h=×（5+5+）×﹣×5×，

解得h=，故⑤錯(cuò)誤，

故答案為：①③④．