Question

如圖（1），一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，梯子與地面的傾斜角α為60°．
（1）求AO與BO的長；
（2）若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行．如圖（2），當A點下滑到A′點，B點向右滑行到B′點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P′點，若∠POP′=15°，試求AA′的長．

Answer 1

分析：（1）在直角△AOB中，已知斜邊AB，和銳角∠ABO，即可根據(jù)正弦和余弦的定義求得OA，OB的長；
（2）△APO和△P′A′O都是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，即可求得∠PAO的度數(shù)，和∠P′A′O的度數(shù)，
在直角△ABO和△A′B′O中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得OA與OA′，即可求得AA′的長．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠α=60°．∴∠OAB=30°，
又AB=4（米），∴OB=

1

2

AB=2（米），OA=AB×sin60°=4×

3

2

=2

3

（米）．

（2）∵點P和點P′分別是Rt△AOB的斜邊AB與Rt△A′OB′的斜邊A′B′的中點，∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
∵∠PAO=30°，∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=4×

2

2

=2

2

．
∴AA′=OA-A′O=(2

3

-2

2

)米．

點評：此題的妙處在于恰到好處地利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，從而求出∠P′A′O=45°，讓我們感受到了數(shù)學題真的很有意思，做數(shù)學題是一種享受．