Question

在平面直角坐標系中，已知點A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，連接OD．當∠DOA=∠OBA時，直線CD的解析式為　　．

Answer 1

y=﹣x+4【考點】一次函數(shù)綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】由旋轉的性質得到三角形BOA與三角形CDA全等，再由已知角相等，以及公共角，得到三角形AOM與三角形AOB相似，確定出OD與AB垂直，再由OA=DA，利用三線合一得到AB為角平分線，M為OD中點，利用SAS得到三角形AOB與三角形ABD全等，得出AD垂直于BC，進而確定出B，D，C三點共線，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出M坐標，確定出D坐標，設直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標代入求出m與n的值，即可確定出解析式．

【解答】解：∵△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，

∴△BOA≌△CDA，

∵∠DOA=∠OBA，∠OAM=∠BAO，

∴△AOM∽△ABO，

∴∠AMO=∠AOB=90°，

∴OD⊥AB，

∵AO=AD，

∴∠OAM=∠DAM，

在△AOB和△ABD中，

，

∴△AOB≌△ABD（SAS），

∴OM=DM，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴B，D，C三點共線，

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A與B坐標代入得：，

解得：，

∴直線AB解析式為y=﹣x+4，

∴直線OD解析式為y=x，

聯(lián)立得：，

解得：，即M（，），

∵M為線段OD的中點，

∴D（，），

設直線CD解析式為y=mx+n，

把B與D坐標代入得：，

解得：m=﹣，n=4，

則直線CD解析式為y=﹣x+4．

故答案為：y=﹣x+4

【點評】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，兩直線的交點坐標，坐標與圖形性質，以及旋轉的性質，得出B，D，C三點共線是解本題的關鍵．