Question

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．

①當(dāng)x取何值時(shí)，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？

②是否存在這樣的點(diǎn)P，使△OAQ為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2﹣x+2．（2）當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．（3）P（3，0）或P（，）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）已知了A，B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．

（2）①Q(mào)P其實(shí)就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的差，二次函數(shù)的解析式在（1）中已經(jīng)求出，而一次函數(shù)可根據(jù)B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出．那么讓一次函數(shù)的解析式減去二次函數(shù)的解析式，得出的新的函數(shù)就是關(guān)于PQ，x的函數(shù)關(guān)系式，那么可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出PQ的最大值以及相對應(yīng)的x的取值．

（3）分三種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)∠QOA=90°時(shí)，Q與C重合，顯然不合題意．因此這種情況不成立；

當(dāng)∠OAQ=90°時(shí)，P與A重合，因此P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)；

當(dāng)∠OQA=90°時(shí)，如果設(shè)QP與x軸的交點(diǎn)為D，那么根據(jù)射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出關(guān)于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數(shù)式中即可得出P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），

∴，

解得：，

∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2﹣x+2．

（2）①∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b．

則有，

解得：．

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=﹣x+2．

∵0＜x＜6，點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)相同，

∴PQ=yQ﹣yP=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）

=﹣x2+x

=﹣（x﹣3）2+1

∴當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．

②【解析】
當(dāng)∠OAQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，

∴P（3，0）

當(dāng)∠QOA=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

∴x=0（不合題意）

當(dāng)∠OQA=90°時(shí)，

設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)D．

∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，

∴∠OQD=∠QAD．

又∵∠ODQ=∠QDA=90°，

∴△ODQ∽△QDA．

∴，即DQ2=OD•DA．

∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），

10x2﹣39x+36=0，

∴x1=，x2=，

∴y1=×（）2﹣+2=；

y2=×（）2﹣+2=；

∴P（，）或P（，）．

∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（3，0）或P（，）或P（，）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．