Question

【題目】如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，以CD為直徑的⊙O分別交CA, CB于點E，F(xiàn)，點G是AD的中點．求證：GE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析: （證法一）: 連接OE，DE根據(jù)已知條件可證得∠1=∠2，∠3=∠4，再由∴∠1+∠3=∠2+∠4 ，即可證得∠OEG=∠ODG=90°，結(jié)論得證；（證法二）：連接OE，OG，證得OG∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)等腰三角形的的性質(zhì)可得∠2=∠4，即可得∠1=∠3，利用SAS證得△OEG≌△ODG，即可得∠OEG=∠ODG=90°，結(jié)論得證.

試題解析:

（證法一）

證明：連接OE，DE ,

∵CD是⊙O的直徑,

∴∠AED=∠CED=90°,

∵G是AD的中點，

∴EG= AD=DG，∴∠1=∠2；

∵OE=OD，∴∠3=∠4 ，

∴∠1+∠3=∠2+∠4 ，

∴∠OEG=∠ODG=90°，

故GE是⊙O的切線。

（證法二）

證明：連接OE，OG，

∵AG=GD，CO=OD，

∴OG∥AC ，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OE，∴∠2=∠4，

∴∠1=∠3 ，

又OE=OD，OG=OG，

∴△OEG≌△ODG，

∴∠OEG=∠ODG=90°，

∴GE是⊙O的切線．