Question

【題目】定義：對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝2x2﹣2x+2是黃金拋物線．

（1）請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋�(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）若拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是黃金拋物線，請(qǐng)?zhí)骄吭擖S金拋物線與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況（要求說(shuō)明理由）；

（3）將黃金拋物線y＝2x2﹣2x+2沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位．

①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；

②設(shè)①中的新拋物線與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，問(wèn)新拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明．

Answer 1

【答案】（1）如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等（答案不唯一）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①y＝2x2﹣2x﹣1；②符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．

【解析】

（1）按照黃金拋物線的定義給a、b、c賦值即可；

（2）將ac＝b2代入判別式當(dāng)中，消去ac，然后對(duì)b分等于0和不等于0兩種情討論即可；

（3）①根據(jù)“上加下減”寫出平移后的拋物線解析式即可；

②根據(jù)所給的限制條件，只能畫出四種圖形，分別寫出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（1）答：如y＝x2，y＝x2﹣x+1，y＝x2+2x+4等；

（2）依題意得b2＝ac，

∴△＝b2﹣4ac＝b2﹣4b2＝﹣3b2，

∴當(dāng)b＝0時(shí)，△＝0，此時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)b≠0時(shí)，△＜0，此時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；

（3）

①拋物線y＝2x2﹣2x+2向下平移3個(gè)單位得到的新拋物線的解析式為y＝2x2﹣2x﹣1，

②存在．

如圖：

若BQ＝AO，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，

P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，﹣1），（1，﹣1），

此時(shí)，△AOB≌△BQP；

若BQ＝BO，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P，

令2x2﹣2x﹣1＝，

解得：x＝﹣或x＝，

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣，），（，）．

此時(shí)，△AOB≌△PQB；

綜上所述，有四個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，﹣1），（1，﹣1），（﹣，），（，）．