Question

3．如圖，拋物線y=x²+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，作直線BC．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
①如圖①，若點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，求△PBC的面積．
②是否存在點(diǎn)P使△PBC的面積為6？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，可求得b、c的值，可求得拋物線解析式；
（2）①由拋物線解析式可求得P、C的坐標(biāo)，可求得直線BC解析式，設(shè)對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E，則可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，可求得PE的長(zhǎng)，則可求得△PBC的面積；②設(shè)P（1，t），則可用t表示出△PBC的面積，可得到t的方程，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵拋物線y=x²+bx+c（b、c為常數(shù)）與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）①∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，4），且C（0，-3），
設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，則有$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=x-3，
設(shè)對(duì)稱軸交BC于點(diǎn)E，如圖1，

則E（1，-2），
∴PE=-2-（-4）=2，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
②設(shè)P（1，t），由①可知E（1，-2），
∴PE=|t+2|，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{3}{2}$|t+2|，
∴$\frac{3}{2}$|t+2|=6，解得t=2或t=-6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，-6），
即存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，2）或（1，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、方程思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△PBC的面積是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)不多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，較易得分．