【題目】如圖AB是⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點A,BP與⊙O相交于點D,C為⊙O上的一點,分別連接CB、CD,∠BCD=60°.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若AB=6,求PD的長度.
【答案】(1)∠ABD=30°;(2)PD=.
【解析】
(1)根據(jù)圓周角定理得:∠ADB=90°,由同弧所對的圓周角相等和直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)如圖1,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAP=90°,根據(jù)直角三角形30°角的性質(zhì)可計算AD的長,由勾股定理計算DB的長,由三角函數(shù)可得PB的長,從而得PD的長.
(1)如圖,連接AD.
∵BA是⊙O直徑,
∴∠BDA=90°.
∵,
∴∠BAD=∠C=60°.
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°.
(2)如圖,∵AP是⊙O的切線,
∴∠BAP=90°.
在Rt△BAD中,∵∠ABD=30°,
∴DA=BA=×6=3.
∴BD=DA=3.
在Rt△BAP中,∵cos∠ABD=,
∴cos30°=.
∴BP=4.
∴PD=BP-BD=4-3=.
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【題目】由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達處時,測得小島位于它的北偏東方向,且與航母相距80海里,再航行一段時間后到達B處,測得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處,求還需航行的距離的長.
(參考數(shù)據(jù):,,,,,)
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【題目】如圖,半徑為2的圓O與含30°角的直角三角板ABC的AB邊切于點A,將直角三角板沿BA邊所在的直線向右平移,當平移到AC與圓O相切時,該直角三角板的平移距離為( )
A. B. C. 1D. 2
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【題目】甲、乙兩人在同一直線噵路上同起點,同方向同進出發(fā),分別以不同的速度勻速跑步1500米,當甲超出乙200米時,甲停下來等候乙,甲、乙會合后,兩人分別以原來的速度繼續(xù)跑向終點,先到達終點的人在終點休息,在跑步的整個過程中,甲、乙兩人的距離y(米)與出發(fā)的時間x(秒)之間的關(guān)系如圖所示,則甲到終點時,乙距離終點______________米。
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長為4,點O在對角線DB上運動(不與點B,D重合),連接OA,作OP⊥OA,交直線BC于點P.
(1)判斷線段OA,OP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)當OD=時,求CP的長.
(3)設(shè)線段DO,OP,PC,CD圍成的圖形面積為S1,△AOD的面積為S2,求S1﹣S2的最大值.
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【題目】我們常見的汽車玻璃升降器如圖①所示,圖②和圖③是升降器的示意圖,其原理可以看作是主臂PB繞固定的點O旋轉(zhuǎn),當端點P在固定的扇形齒輪上運動時,通過叉臂式結(jié)構(gòu)(點B可在MN上滑動)的玻璃支架MN帶動玻璃沿導(dǎo)軌作上下運動而達到玻璃升降目的.點O和點P,A,B在同一直線上.當點P與點E重合時,窗戶完全閉合(圖②),此時∠ABC=30°;當點P與點F重合時,窗戶完全打開(圖③).已知的半徑OP=5cm,=cm,OA=AB=AC=20cm.
(1)當窗戶完全閉合時,OC=_____cm.
(2)當窗戶完全打開時,PC=_____cm.
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【題目】如圖,已知CB=CA,∠ACB=90°,點D在邊BC上(與B,C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點F作FG⊥CA,交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q,得出以下結(jié)論:①AC=FG;②S△FAB:S四邊形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQAC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】如圖,在△ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F,且AF=BD,連接BF.
(1)求證:BD=CD;
(2)不在原圖添加字母和線段,對△ABC只加一個條件使得四邊形AFBD是菱形,寫出添加條件并說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O分別與BC,AC相交于點D,E,BD=CD,過點D作⊙O的切線交邊AC于點F.
(1)求證:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半徑為2,CF=1,求的長(結(jié)果保留π).
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