Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，∠ABC與∠ADC互補(bǔ)．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）若BC＞CD且AB=AD，請(qǐng)?jiān)趫D上畫(huà)出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個(gè)正方形，并說(shuō)明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S_{四邊形ABCD}=49，求AB的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得到∠C的度數(shù)為90°；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則被分成的兩部分重新拼成一個(gè)正方形．可以根據(jù)已知利用AAS來(lái)判定△ABE≌△ADF從而得到AE=AF，即得到四邊形AECF是正方形；
（3）連接BD，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)已知得到△ABD的面積，從而可求得AM的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定得到△ABM∽△ABD．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得到BM的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠ABC與∠ADC互補(bǔ)，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠A=90°，
∴∠C=360°-90°-180°=90°；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．
則線段AE把四邊形ABCD分成△ABE和四邊形AECD兩部分，把△ABE以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則被分成的兩部分重新拼成一個(gè)正方形．
過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CD的延長(zhǎng)線于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．∴四邊形AECF是正方形；

（3）解法1：連接BD，
∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD=

82+62

=10
又∵S_{四邊形ABCD}=49，∴S_△ABD=49-24=25．
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BD垂足為M，
∴S_△ABD=

1

2

×BD×AM=25．∴AM=5．
又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．
∴

AM

BM

=

MD

AM

．
設(shè)BM=x，則MD=10-x，
∴

5

X

=

10-X

5

．解得x=5．
∴AB=5

2

．
解法2：連接BD，∠A=90°．
設(shè)AB=x，AD=y，則x²+y²=10²，①
∵

1

2

xy=25，∴xy=50．②
由①，②得：（x-y）²=0．
∴x=y．
2x²=100．
∴x=5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)正方形的判定、相似三角形的判定、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．