Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，2），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+2的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D在拋物線y=ax2+bx+2的對(duì)稱軸上，求△ACD的周長(zhǎng)的最小值；
（3）在拋物線y=ax2+bx+2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是直角三角形？若存在直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，2）代入拋物線y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴拋物線函數(shù)表達(dá)式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：y=﹣ x2+ x+2=﹣ （x﹣1）2+ ；

∴對(duì)稱軸是：直線x=1，

如圖1，過(guò)B作BE⊥x軸于E，

∵C（0，2），B（2，2），對(duì)稱軸是：x=1，

∴C與B關(guān)于x=1對(duì)稱，

∴CD=BD，

連接AB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB= =2 ，

AC= =2 ，

∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2 +2 ；

答：△ACD的周長(zhǎng)的最小值是2 +2

（3）

解：存在，

分兩種情況：

①當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，△ACP是直角三角形，如圖2，

過(guò)P作PD⊥y軸于D，

設(shè)P（1，y），

則△CGP∽△AOC，

∴ ，

∴ ，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

②當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，△ACP是直角三角形，如圖3，

設(shè)P（1，y），

則△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴ = ，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

綜上所述，△ACP是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）或（1，﹣3）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）由軸對(duì)稱的最短路徑得：因?yàn)锽與C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，所以連接AB交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，此時(shí)△ACD的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求其三邊相加即可；（3）存在，當(dāng)A和C分別為直角頂點(diǎn)時(shí)，畫出直角三角形，設(shè)P（1，y），根據(jù)三角形相似列比例式可得P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．