Question

【題目】如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，OA交⊙O于C點(diǎn)，過C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．

（1）求∠A的正切值；

（2）若OC=1，求AB及的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）易知DB、DC都是⊙O的切線，由切線長(zhǎng)定理可得DB=DC，那么結(jié)合已知條件則有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=，由此可求出∠A的度數(shù)，進(jìn)而可的∠A的正切值．

（2）連接OB．在構(gòu)建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的長(zhǎng)及∠BOC的度數(shù)；進(jìn)而可根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧BC的長(zhǎng)．

試題解析：（1）∵DC⊥OA，OC為半徑且點(diǎn)C在⊙O外端，

∴DC為⊙O的切線；

∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；

在Rt△ACD中，

∵sinA=，BD：AD=1：2，

∴sinA=；∴∠A=30°，

∴tanA=．

（2）連接OB；

∵AB是⊙O的切線，

∴OB⊥AB．

在Rt△AOB中，

∵tanA=，OB=1；

∴AB=

∵∠A=30°，

∴∠O=60°；

∴的長(zhǎng)=．