Question

春天，萬(wàn)物復(fù)蘇，同時(shí)也是流感病毒高發(fā)季節(jié)，某醫(yī)藥器械廠接受了生產(chǎn)一批醫(yī)用口罩的任務(wù)，要求在8天之內(nèi)（包括8天）生產(chǎn)A型和B型兩種口罩共5萬(wàn)只，其中A型口罩不得少于1.8萬(wàn)只．該廠每天可生產(chǎn)A型口罩0.6萬(wàn)只，每只口罩獲利0.5元；或者該廠每天可生產(chǎn)B型口罩0.8萬(wàn)只，每只口罩獲利0.3元，設(shè)該廠這次生產(chǎn)了A型口罩x萬(wàn)只，獲得的總利潤(rùn)為y元．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在完成任務(wù)的前提下，如何安排生產(chǎn)使獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）若要在最短的時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，如何安排生產(chǎn)A型和B型口罩的數(shù)量？最短時(shí)間多少天？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等量關(guān)系“總利潤(rùn)=A型口罩利潤(rùn)+B型口罩利潤(rùn)”列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由條件“8天之內(nèi)完成”“A型口罩不能少于1.8萬(wàn)只”確定所獲利潤(rùn)的最大值．
（3）因?yàn)樯�產(chǎn)A型耗時(shí)長(zhǎng)，若要在最短的時(shí)間完成任務(wù)應(yīng)盡量多生產(chǎn)B型，但要保證A型不少于1.8萬(wàn)只．

解答：解：（1）設(shè)該廠在這次任務(wù)中生產(chǎn)A型口罩x萬(wàn)只，則生產(chǎn)B型口罩（5-x）萬(wàn)只；
由題意得：y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5
（2）由限制條件得：

x 0.6 + 5-x 0.8 ≤8 1.8≤x≤5

，
解得：1.8≤x≤4.2，
由（1）得y=0.2x+1.5為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=4.2時(shí)，y_{最大總利潤(rùn)}=0.2×4.2+1.5=2.34萬(wàn)元．
此時(shí)生產(chǎn)A型4.2萬(wàn)只，生產(chǎn)B型0.8萬(wàn)只．
（3）如果要在最短時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，全部生產(chǎn)B型所用時(shí)間最短，
但題意要生產(chǎn)A型不少于1.8萬(wàn)只，
因此，除了生產(chǎn)A型1.8萬(wàn)只外，其余的3.2萬(wàn)只應(yīng)全部改為生產(chǎn)B型，
所需最短時(shí)間為1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及一元一次不等式的因應(yīng)用，需借助函數(shù)方程及不等式求解，學(xué)生應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)對(duì)題理解的能力，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問(wèn)題有意義．