精英家教網(wǎng)已知:矩形ABCD(字母順序如圖)的邊長(zhǎng)AB=3,AD=2,將此矩形放在平面直角坐標(biāo)系xOy中,使AB在x軸正半軸上,而矩形的其它兩個(gè)頂點(diǎn)在第一象限,且直線y=
3
2
x-1經(jīng)過(guò)這兩個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè).
(1)求出矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)以AB為直徑作⊙M,經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線,y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是P點(diǎn).
①若點(diǎn)P位于⊙M外側(cè)且在矩形ABCD內(nèi)部,求a的取值范圍;
②過(guò)點(diǎn)C作⊙M的切線交AD于F點(diǎn),當(dāng)PF∥AB時(shí),試判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)Q是位于直線y=
3
2
x-1的上方?還是下方?還是正好落在此直線上?并說(shuō)明理由.
分析:(1)首先建立平面直角坐標(biāo)系,由矩形ABCD中,AB=3,AD=2,設(shè)A(m,0)(m>0),則有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);然后若C點(diǎn)過(guò)y=
3
2
x-1與C點(diǎn)不過(guò)y=
3
2
x-1分析,即可求得矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)⊙M以AB為直徑,即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo),又由y=ax2+bx+c過(guò)A(2,0)和B(5,0)兩點(diǎn),利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的圖象,然后頂點(diǎn)同時(shí)在⊙M外側(cè)和在矩形ABCD內(nèi)部,即可求得a的取值范圍;
②首先設(shè)切線CF與⊙M相切于Q,交AD于F,設(shè)AF=n,n>0;由AD、BC、CF均為⊙M切線,求得CF與DF的長(zhǎng);在Rt△DCF中,由勾股定理求得n的值,可得F的坐標(biāo),然后由當(dāng)PF∥AB時(shí),求得拋物線的解析式與拋物線與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo),則可得Q在直線y=
3
2
x-1下方.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,
∵矩形ABCD中,AB=3,AD=2,
設(shè)A(m,0)(m>0),則有B(m+3,0);C(m+3,2),D(m,2);
若C點(diǎn)過(guò)y=
3
2
x-1;則2=
3
2
(m+3)-1,
m=-1與m>0不合;
∴C點(diǎn)不過(guò)y=
3
2
x-1;
若點(diǎn)D過(guò)y=
3
2
x-1,則2=
3
2
m-1,m=2,
∴A(2,0),B(5,0),C(5,2),D(2,2);

(2)①∵⊙M以AB為直徑,
∴M(
7
2
,0),
由于y=ax2+bx+c過(guò)A(2,0)和B(5,0)兩點(diǎn),
0=4a+2b+c
0=25a+5b+c
,
b=-7a
c=10a
,
∴y=ax2-7ax+10a
(也可得:y=a(x-2)(x-5)=a(x2-7x+10)=ax2-7ax+10a)
∴y=a(x-
7
2
2-
9
4
a;
∴拋物線頂點(diǎn)P(
7
2
,-
9
4
a)
∵頂點(diǎn)同時(shí)在⊙M外側(cè)和在矩形ABCD內(nèi)部,
3
2
<-
9
4
a<2,
∴-
8
9
<a<-
2
3

②設(shè)切線CF與⊙M相切于Q,交AD于F,設(shè)AF=n,n>0;
∵AD、BC、CF均為⊙M切線,
∴AF=QF,CQ=BC=2,
∴CF=n+2,DF=2-n;在Rt△DCF中,
∵DF2+DC2=CF2
∴32+(2-n)2=(n+2)2,
∴n=
9
8
,
∴F(2,
9
8

∴當(dāng)PF∥AB時(shí),P點(diǎn)縱坐標(biāo)為
9
8
;
∴-
9
4
a=
9
8

∴a=-
1
2
;
∴拋物線的解析式為:y=-
1
2
x2+
7
2
x-5,
拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q(0,-5),
又直線y=
3
2
x-1與y軸交點(diǎn)(0,-1);
∴Q在直線y=
3
2
x-1下方.
點(diǎn)評(píng):此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,矩形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用以及點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng),難度較大,解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:矩形ABCD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.
(1)利用圖中的向量表示:
BC
+
CD
=
 
;
(2)利用圖中的向量表示:
AO
-
AD
=
 
;
(3)如果|
AB
|=5
,|
BC
|=12
,則|
BO
|
=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知在矩形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E在BC上且∠BAE=30°,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F使CF=BE,連接DF.
(1)判斷四邊形AEFD的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)求DF的長(zhǎng)度;
(3)若四邊形AEFD是菱形,求菱形AEFD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知:矩形ABCD中AD>AB,O是對(duì)角線的交點(diǎn),過(guò)O任作一直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、N(如圖①).
(1)求證:BM=DN;
(2)如圖②,四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的,連接CN,求證:四邊形AMCN是菱形;
(3)在(2)的條件下,若△CDN的面積與△CMN的面積比為1:3,求
MNDN
的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖(1),已知,矩形ABCD的邊AD=3,對(duì)角線長(zhǎng)為5,將矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合,且反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支位于第一象限.
①求圖(1)中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是多少?
②若矩形ABCD從圖(1)的位置開(kāi)始沿x軸的正方向移動(dòng),每秒移動(dòng)1個(gè)單位,1秒后點(diǎn)A剛好落在反比例函數(shù)的圖象上,如圖(2),求反比例函數(shù)的表達(dá)式.
③矩形ABCD繼續(xù)向x軸的正方向移動(dòng),AB、AD與反比例函數(shù)圖象分別交于P、Q兩點(diǎn),如圖(3),設(shè)移動(dòng)總時(shí)間為t(1<t<5),分別寫(xiě)出△PBC的面積S1、△QDC的面積S2與t的函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)t為何值時(shí),S2=
107
S1?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,CE平分∠BCD,交AB于點(diǎn)E,∠OCE=15°,求∠BEO的度數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案