Question

（2011•杭州一模）如圖，在△ABC中，AB=AC=

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，BC=2．在BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)P₁，P₂，P₃，¨¨¨¨，P₁₀₀，過這100個(gè)點(diǎn)分別作△ABC的內(nèi)接矩形P₁E₁F₁G₁，P₂E₂F₂G₂，¨¨¨¨，P₁₀₀E₁₀₀F₁₀₀G₁₀₀，設(shè)每個(gè)矩形的周長分別為L₁，L₂，¨¨¨¨，L₁₀₀，則L₁+L₂+¨¨¨¨+L₁₀₀=

400

．

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由AB=AC=

5

，BC=2，可求得BH的長，由勾股定理可求得AH的長，又由四邊形P₁E₁F₁G₁是矩形，可得E₁P₁=F₁G₁，E₁F₁=P₁G₁，E₁P₁⊥BC，然后由平行線分線段成比例定理，即可求得E₁P₁=2BP₁，F(xiàn)₁G₁=2CG₁，則可求得L₁的值，同理可求得L₂，¨¨¨¨，L₁₀₀的值，繼而求得答案．

解答：解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=

5

，BC=2．
∴BH=

1

2

BC=1，
∴AH=

AB2-BH2

=2，
∵四邊形P₁E₁F₁G₁是矩形，
∴E₁P₁=F₁G₁，E₁F₁=P₁G₁，E₁P₁⊥BC，
∴E₁P₁∥AH，
∴

E1P1

AH

=

BP1

BH

，
即

E1P1

2

=

BP1

1

，
∴E₁P₁=2BP₁，
同理：F₁G₁=2CG₁，
∴矩形P₁E₁F₁G₁的周長為：E₁P₁+E₁F₁+P₁G₁+F₁G₁=2P₁G₁+2BP₁+2CG₁=2（P₁G₁+BP₁+CG₁）=2BC=4，
∴L₁=4，
同理：L₂=L₃=…=L₁₀₀=4，
∴L₁+L₂+¨¨¨¨+L₁₀₀=4×100=400．
故答案為：400．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．