Question

【題目】已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，⊙O1過以OB為邊長(zhǎng)的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→A運(yùn)動(dòng)后停止；動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，AO1交y軸于E點(diǎn)，P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）求E點(diǎn)的坐標(biāo)和S△ABE的值；

（2）試探究點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動(dòng)到停止，直線PQ與⊙O1有哪幾種位置關(guān)系，并求出對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍．

Answer 1

【答案】（1）E（0，），；（2）當(dāng)PQ與⊙O1相離，0＜t＜1；當(dāng)PQ與⊙O1相切時(shí)，t=1或t=4；當(dāng)PQ與⊙O1相交時(shí)，4＞t＞1.

【解析】

（1）依題意容易知道O1的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標(biāo)，最后求出S△ABE；

（2）容易知道當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)PQ與圓相切，此時(shí)t=1，所以可以確定其他位置的t的值；

（1）由題意知，A（﹣2，0），B（0，2），

∴OB=OD=2，∴O1（1，1），

設(shè)AO1的直線的解析式為y=kx+b，則有0=﹣2k+b，1=k+b，

解得：b=，k=，

∴y=x+，∴E（0，），

∴BE=，S△ABE=OABE=；

（2）直線PQ與⊙O1有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，

∵動(dòng)點(diǎn)P沿A→B→A運(yùn)動(dòng)后停止；動(dòng)點(diǎn)Q沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，

∴根據(jù)切線的定義，如果PQ與⊙O1相切，切點(diǎn)只能是O、D、C、B中的一個(gè).

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)移到B點(diǎn)時(shí)，由于OA=OB=2,

∴AB=，

∴t==2，

當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，

當(dāng)?shù)竭_(dá)D點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P在B點(diǎn)，顯然不合題意，舍去，

當(dāng)點(diǎn)Q在O點(diǎn)時(shí)，如圖①，此時(shí)t=2,連結(jié)O1Q、PQ,易知PA=,

∵QA=QB,

∴∠PQB=,

∵O1是正方形ODCB的中心，

∴∠O1QB=,

∴∠PQO1=900,

∴PQ為⊙O1的切線，此時(shí)t=1

圖① 圖②

②當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)移到A點(diǎn)時(shí), 點(diǎn)Q從D點(diǎn)經(jīng)過C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，顯然，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)C處時(shí)，PQ與⊙O1相交，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P回到了點(diǎn)A,如圖②，同理可證此時(shí)PQ與⊙O1相切，易得t=4，

綜上，當(dāng)t=1或t=4時(shí)，PQ與⊙O1相切，

∴由題意可知：

當(dāng)PQ與⊙O1相離，0＜t＜1；

當(dāng)PQ與⊙O1相切時(shí)，t=1或t=4；

當(dāng)PQ與⊙O1相交時(shí)，4＞t＞1；