Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上．下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+ ．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，
∴①說(shuō)法正確；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②說(shuō)法正確；
如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③說(shuō)法錯(cuò)誤；
∵EF=2，
∴CE=CF= ，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，
在Rt△ADF中，
a2+（a﹣ ）2=4，
解得a= ，
則a2=2+ ，
∴S正方形ABCD=2+ ，
④說(shuō)法正確，
∴正確的有①②④．
故選C．

根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤．