翻轉(zhuǎn)類的計算問題在全國各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大,因此初三(5)班聰慧的小菲同學(xué)結(jié)合2011年蘇州市數(shù)學(xué)中考卷的倒數(shù)第二題對這類問題進(jìn)行了專門的研究。你能和小菲一起解決下列各問題嗎?(以下各問只要求寫出必要的計算過程和簡潔的文字說明即可。)
(1)如圖①,小菲同學(xué)把一個邊長為1的正三角形紙片(即△OAB)放在直線l1上,OA邊與直線l1重合,然后將三角形紙片向右翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置,求頂點O所經(jīng)過的路程;并求頂點O所經(jīng)過的路線;
圖①
(2)小菲進(jìn)行類比研究:如圖②,她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上,OA邊與直線l2重合,然后將正方形紙片向右翻轉(zhuǎn)若干次.她提出了如下問題:
圖②
問題①:若正方形紙片OABC接上述方法翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置,求頂點O經(jīng)過的路程;
問題②:正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn),頂點O經(jīng)過的路程是。
(3)①小菲又進(jìn)行了進(jìn)一步的拓展研究,若把這個正三角形的一邊OA與這個正方形的一邊OA重合(如圖3),然后讓這個正三角形在正方形上翻轉(zhuǎn),直到正三角形第一次回到初始位置(即OAB的相對位置和初始時一樣),求頂點O所經(jīng)過的總路程。
圖③
②若把邊長為1的正方形OABC放在邊長為1的正五邊形OABCD上翻轉(zhuǎn)(如圖④),直到正方形第一次回到初始位置,求頂點O所經(jīng)過的總路程。
圖④
(4)規(guī)律總結(jié),邊長相等的兩個正多邊形,其中一個在另一個上翻轉(zhuǎn),當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時,該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的___________。
(1);(2),81;(3),;(4)最小公倍數(shù).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長公式求出點A繞點B、點C旋轉(zhuǎn)的兩段弧長相加即可.
(2)①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)一周的路徑,利用弧長計算公式以及扇形面積公式求出即可,
②再利用正方形紙片OABC經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑,進(jìn)而得出 ,即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù).
(3)方法同(2);
(4)邊長相等的兩個正多邊形,其中一個在另一個上翻轉(zhuǎn),當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時,該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù).
試題解析:(1)∵點A所經(jīng)過的這兩段弧所在圓的半徑為1,所對圓心角均為120度
∴點A所經(jīng)過的路線長為.
(2)①頂點O經(jīng)過的總路線長為:
②由①:每翻轉(zhuǎn)一周頂點O經(jīng)過的總路線長為:
即翻轉(zhuǎn)20周后再翻一次,共翻81次.
(3)①每翻三次翻一周,頂點O所經(jīng)過的總路線長為:
共翻四周回到初始位置,所以頂點O所經(jīng)過的總路線長為:.
②每翻四次翻一周,頂點O所經(jīng)過的總路線長為:
共翻5周回到初始位置,所以頂點O所經(jīng)過的總路線長為:
(4)最小公倍數(shù)
考點: 1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.等邊三角形的性質(zhì);3.正方形的性質(zhì);4.弧長的計算;
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