Question

6．在矩形紙片ABCD中，AB=16，AD=12，點(diǎn)P在邊AB上，若將△DAP沿DP折疊，使點(diǎn)A恰好落在矩形對角線上的點(diǎn)A′處，則AP的長為6或9．

Answer 1

分析 分兩種情況探討：點(diǎn)A落在矩形對角線BD上，點(diǎn)A落在矩形對角線AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案．

解答 解：①點(diǎn)A落在矩形對角線BD上，如圖1所示．

∵AB=16，AD=12，
∴BD=20，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，AD=A′D=12，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=8，
設(shè)AP=x，則BP=16-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴AP=6；
②點(diǎn)A落在矩形對角線AC上，如圖2所示：

由折疊的性質(zhì)可知PD垂直平分AA′，
∴∠BAC+∠A′AD=∠PDA+∠A′AD=90°．
∴∠BAC=∠PDA．
∴tan∠BAC=tan∠PDA．
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{AP}{AD}$即$\frac{12}{16}$=$\frac{AP}{12}$．
∴AP=9．
綜上所述AP的長為6或9．
故答案為：6或9．

點(diǎn)評 本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；依據(jù)翻折的性質(zhì)找準(zhǔn)相等的量是解題的關(guān)鍵．