Question

如圖，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求證：△ABE∽△ADB，并求AB的長；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，那么直線FA與⊙O相切嗎？為什么？

Answer 1

（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，（3分）
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．（5分）

（2）直線FA與⊙O相切．（6分）
理由如下：
連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

12+(2+4)2

=

48

=4

3

，
∴BF=BO=

1

2

BD=

1

2

×4

3

=2

3

．
∵AB=2

3

，
∴BF=BO=AB，
∴∠OAF=90°．
∴直線FA與⊙O相切．（8分）