【答案】
分析:(1)分別把B(3,0),C(2,-3)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x
2+mx+n中即可確定此拋物線的解析式,然后就可以確定頂點(diǎn)F的坐標(biāo);
(2)本題需先根據(jù)(1)中的函數(shù)關(guān)系式得出A與D的坐標(biāo),再設(shè)出直線AC的解析式為y=kx+b,解出k、b的值,從而得出直線AC的解析式,再設(shè)P的橫坐標(biāo)為x,即縱坐標(biāo)為-x-1,得出PE的解析式來,最后即可求出線段PE長度的最大值.
(3)本題需先根據(jù)已知條件,設(shè)出點(diǎn)H和點(diǎn)G的坐標(biāo),再用x表示出GF
2+CH
2的值,即可得出線段GF+CH的長度和最小時x的值,從而求出G、H的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線y=x
2+mx+n與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),B(3,0),且經(jīng)過C(2,-3),
∴
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,
解之得m=-2,n=-3,
∴拋物線的解析式為y=x
2-2x-3,
∴y=x
2-2x-3=y=x
2-2x+1-4=(x-1)
2-4,
∴F的坐標(biāo)為(1,-4);
(2)如圖,∵y=x
2-2x-3=y=x
2-2x+1-4=(x-1)
2-4,
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∴當(dāng)y=0時,x=3或x=-1,對稱軸為x=1,
當(dāng)x=0時,y=-3,
∴A(-1,0),D(0,-3),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
依題意得
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,
解之得k=-1,b=-1,
∴直線AC的解析式為y=-x-1,
設(shè)P的橫坐標(biāo)為x,那么縱坐標(biāo)為-x-1,
∵EP∥OD,
∴E的橫坐標(biāo)為x,縱坐標(biāo)為,
∵P是線段AC上的一個動點(diǎn),
∴PE=-(x
2-2x-3+x+1)=-x
2+x+2,
∴當(dāng)x=
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時,PE的長度最大,線段PE長度的最大值為
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=
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;
(3)∵GH=2,CF=
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=
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∴GH、CF的長是定值.
∴使得線段GF+FC+CH+HG的長度和為最小,
則線段GF+CH的長度和最小.
∵設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(x,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x-2,0),
則GF
2+CH
2=[1-(x-2)]
2+4
2+(2-x)
2+3
2=2x
2-10x+38
∴當(dāng)x=-
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時,線段GF+CH的長度和最�。�
G、H的坐標(biāo)分別是(-
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,0)(-
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,0).
點(diǎn)評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的知識點(diǎn)有拋物線的平移、拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)與判定,也利用了三角函數(shù)的定義,綜合性比較強(qiáng),定義學(xué)生的能力要求比較高,平時加強(qiáng)訓(xùn)練.