Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3過A（1，0），B（﹣3，0），直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）當(dāng)m＝-時(shí)，PQ最長，最大值為；（3）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

【解析】

（1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線的解析式；

(2)根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

(3)根據(jù)PQ的長是正整數(shù)，可得PQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可得DR的長，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示方法，可得答案

解：（1）將A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：

∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；

因此直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵點(diǎn)P在直線AD上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴當(dāng)m＝ 時(shí)，PQ的長l最大＝﹣（ ）2﹣（）+2＝ ．

答：線段PQ的長度l與m的關(guān)系式為：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

當(dāng)m＝時(shí)，PQ最長，最大值為．

（3）①若PQ為平行四邊形的一邊，則R一定在直線x＝﹣2上，如圖：

∵PQ的長為0＜PQ≤的整數(shù)，

∴PQ＝1或PQ＝2，

當(dāng)PQ＝1時(shí)，則DR＝1，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R1（﹣2，﹣2），在點(diǎn)D下方有R2（﹣2，﹣4）；

當(dāng)PQ＝2時(shí)，則DR＝2，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R3（﹣2，﹣1），在點(diǎn)D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ為平行四邊形的一條對(duì)角線，則PQ與DR互相平分，此時(shí)R與點(diǎn)C重合，即R5（0，﹣3）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

答：符合條件的點(diǎn)R共有5個(gè)，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．