Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E為射線CB上一動點（不與點C重合），將△CDE沿DE所在直線折疊，點C落在點C′處，連接AC′，當△AC′D為直角三角形時，CE的長為_____．

Answer 1

【答案】4﹣或4+

【解析】

由折疊的性質(zhì)得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，設(shè)CE＝C'E＝x，分點C'在矩形內(nèi)與矩形外兩種情況，如圖1，在△AC'D利用勾股定理求得AC'的長，在 Rt△ABE中，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可；如圖2，同理1進行求解即可.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，

由折疊的性質(zhì)得：C'D＝CD＝3，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，

設(shè)CE＝C'E＝x，

當△AC′D為直角三角形時，則∠AC'D＝90°，

∴∠AC'D+∠DC'E＝180°，

∴A、C'、E三點共線，

分兩種情況：

①點E在線段CB上時，如圖1所示：

則∠DC'E＝∠C＝90°，

∴∠AC'D＝90°，

∴AC'＝，

在Rt△ABE中，BE＝4﹣x，AE＝x+，

由勾股定理得：（4﹣x）2+32＝（x+）2，

解得：x＝4﹣，

∴CE＝4﹣；

②點E在線段CB的延長線上時，如圖2所示：

則∠DC'E＝∠C＝90°，

∴AC'＝，

在Rt△ABE中，BE＝x﹣4，AE＝x﹣，

由勾股定理得：（x﹣4）2+32＝（x﹣）2，

解得：x＝4+，

∴CE＝4+；

綜上所述，當△AC′D為直角三角形時，CE的長為4﹣或4+；

故答案為：4﹣或4+．