Question

【題目】已知二次函數(shù)y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)(m為常數(shù))．

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

（2）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變；

（3）若該函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)為A、B，與y軸交點(diǎn)為C，當(dāng)﹣3≤m≤﹣1時(shí)，△ABC面積S的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）6≤S≤8．

【解析】

（1）當(dāng)y=0時(shí)，(x-m)(x-m-4)=0，解得x1=m，x2=m+4，即可得到結(jié)論；

（2）圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)、(m+4，0)，由拋物線的對稱性可知圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為m+2，代入解析式求得y=-4，從而求得結(jié)論；

（3）當(dāng)-3≤m≤-1時(shí)，求出S=2|m2+4m|，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

（1）當(dāng)y=0時(shí)，(x-m)(x-m-4)=0，

解得：x1=m，x2=m+4，

∵m≠m+4，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴不論m為何值，函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

（2）由（1）得圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)、(m+4，0)，

由拋物線的對稱性可知圖象頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為m+2，

把x=m+2代入y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)得y=﹣4，

∴不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變?yōu)椹?/span>4；

（3）∵y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)=x2﹣(2m+4)x+m2+4m，

∴C(0，m2+4m)．

∵圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，0)、(m+4，0)，

∴AB=4，

∴SABOC×|m2+4m|=2|m2+4m|，

當(dāng)m=﹣3時(shí)，S=2×3=6；當(dāng)m=﹣1時(shí)，S=2×3=6，

當(dāng)頂點(diǎn)在y軸上，即m=﹣2時(shí)，|m2+4m|最大值是4，故此時(shí)S=2×4=8，∴6≤S≤8．

故答案為：6≤S≤8．