Question

5．?dāng)?shù)的概念擴(kuò)充到實(shí)數(shù)集后，人們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)很多問(wèn)題還不能解決，如從解方程的角度看，如x²=-1這類(lèi)方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解．為了解決這個(gè)問(wèn)題，需要把數(shù)的范圍作進(jìn)一步的擴(kuò)充．為此，為探索新問(wèn)題的需要，定義一種新數(shù)：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，就記為i²=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如“a+bi”（a、b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫作復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部．復(fù)數(shù)的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類(lèi)似．
例如計(jì)算：（2+i）+（3-4i）=5-3i，（3+i）（1+2i）=1+7i，（3i）²=-9等．
根據(jù)信息，解決下列問(wèn)題：
（1）填空：i⁴=1，（2+i）²=3+4i
（2）若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，據(jù)此，完成下列問(wèn)題：
已知：（x+y）+3i=（1-x）-yi（x、y為實(shí)數(shù)），求x、y的值；
（3）試一試：請(qǐng)利用相關(guān)知識(shí)，將$\frac{1+i}{1-i}$化簡(jiǎn)成a+bi的形式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)i²=-1，i⁴=i²•i²，然后計(jì)算；根據(jù)平方差公式和完全平方公式計(jì)算，出現(xiàn)i²，化簡(jiǎn)為-1計(jì)算；
（2）把原式化簡(jiǎn)后，根據(jù)實(shí)部對(duì)應(yīng)實(shí)部，虛部對(duì)應(yīng)虛部列出方程，求得x，y的值；
（3）分子分母同乘以（1+i）后，把分母化為不含i的數(shù)后計(jì)算．

解答 解：（1）∵i²=-1，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，
（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；

（2）∵（x+y）+3i=（1-x）-yi，
∴x+y=1-x，3=-y，
∴x=2，y=-3；

（3）$\frac{1+i}{1-i}$=$\frac{（1+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}$=$\frac{（1+i）^{2}}{2}$=$\frac{2i}{2}$=i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平方差公式，完全平方公式，是信息給予題，解題步驟為：（1）閱讀理解，發(fā)現(xiàn)信息；（2）提煉信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（3）運(yùn)用規(guī)律，聯(lián)想遷移；（4）類(lèi)比推理，解答問(wèn)題．