Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝3，PB＝1，CD＝PC＝2，CD⊥PC.

(1)找出圖中一對(duì)全等三角形，并證明；

(2)求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)△APC≌△BDC，理由見解析；(2) ∠BPC＝135°.

【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“邊角邊”證明△APC≌△BDC；
（2）先判斷出△PCD是等腰直角三角形，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判斷出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根據(jù)∠BPC=∠BPD+∠CPD代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解

(1)△APC≌△BDC，理由如下：

∵∠ACB＝90°，CD⊥CP，∴∠ACB＝∠PCD，

∴∠ACB－∠PCB＝∠PCD－∠PCB，

即∠ACP＝∠BCD，

又∵AC＝BC，PC＝DC，∴△APC≌△BDC(SAS)．

(2)∵△APC≌△BDC，∴AP＝BD，

∵PC＝CD＝2，∠PCD＝90°，

∴PD2＝PC2＋CD2＝8，∠CPD＝45°.

∵PA＝3，PB＝1，∴BD＝3，∴BD2＝9，PB2＝1.

∴BD2＝PB2＋PD2，∴∠BPD＝90°.

∴∠BPC＝∠BPD＋∠CPD＝135°.