Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是線段BC上一點(diǎn)，以AD為邊，在AD的右側(cè)作正方形ADEF．直線AE與直線BC交于點(diǎn)G，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)BD＜1時(shí)，求證：△ACF≌△ABD；
（2）如圖2，當(dāng)BD＞1時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出相應(yīng)的圖形，猜測(cè)線段CF與線段BD的關(guān)系，并說明理由；
（3）連接GF，判斷當(dāng)線段BD為何值時(shí)，△GFC是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，即可證明△ABD≌△ACF，
（2）先猜后證，由（1）得△ABD≌△ACF，再推出CF⊥BD；
（3）連接GF，根據(jù)條件可得出△AFG≌△ADG，則FG=DG，然后分兩種情況：當(dāng)BD＜1時(shí)，當(dāng)BD＞1時(shí)，得出答案即可．

解答：解：（1）∵四邊形ADEF是正方形，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°（2分）
∴∠BAD=∠CAF，∴△ABD≌△ACF（4分）

（2）作圖如右：（6分）
猜測(cè)：CF=BD，CF⊥BD（7分）
理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°
∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD（9分）

（3）連接GF
∵AE是正方形ADEF的對(duì)角線
∴∠FAE=∠DAE=45°
又AD=AF，AG=AG
∴△AFG≌△ADG
∴FG=DG（10分）
若Rt△CFG是等腰三角形，則CG=CF
設(shè)CF=x，得CG=CF=BD=x
①如圖1，當(dāng)BD＜1時(shí)，F(xiàn)G=DG=2-2x
在Rt△CFG中，根據(jù)勾股定理得
FG²=CG²+CF²
∴（2-2x）²=2x²
解得：x₁=2+

2

＞1（舍去），x₂=2-

2

（12分）

②如圖2，當(dāng)BD＞1時(shí)，∵CG=BD
∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，根據(jù)勾股定理得
FG²=CG²+CF²，2²=2x²
解得：x₁=-

2

（舍去），x₂=

2

綜上所得，當(dāng)BD等于2-

2

或

2

時(shí)，△CFG是等腰三角形（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，注意分類思想的使用．