Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，，．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)是該拋物線第三象限的任意一點(diǎn)，求四邊形的最大面積；

（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）(0,)或(0,-)

【解析】

（1）把，，代入解析式，解方程組求出a、b、c，即可求出函數(shù)解析式；

（2）如圖1，過點(diǎn)H作HM⊥AB于M，設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為：,根據(jù)S四邊形OCHA=S△AHM+S梯形OCHM=代入整理，得出S四邊形OCHA=,再求出二次函數(shù)的最大值即可；

（3）假設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于N點(diǎn)，根據(jù)已知條件可知，NG=NA，以N為圓心NG為半徑作圓，與y軸的交點(diǎn)就是Q，再求出它的坐標(biāo)，然后證明符合條件Q有且只有這兩點(diǎn)，即可得出答案．

解：（1）∵拋物線過點(diǎn)，，

∴

解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖1，過點(diǎn)H作HM⊥AB于M，
設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（m，），
則HM＝，OM＝-m，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），

∴OA＝6，OC3，
∴AM＝m +6，
∴S四邊形OCHA
＝S△AMH＋S梯形OMHC
＝

=

=

=

∵

∴當(dāng)m=-3時(shí)，S四邊形OCHA有最大值
故答案為：S四邊形OCHA有最大值，最大面積是；

（3）如圖2， ∵，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-4)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，

∴AN=

∴NG=AN=4

以N為圓心NG為半徑作圓，經(jīng)過點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)Q1、Q2，連接Q1G、Q1A、Q1N，

∵∠ANG=90°且同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半

∴∠AQ1G=∠ANG=45°

在Rt△ONQ1中，ON=2，Q1N=4

∴OQ1=

∴Q1 (0,)

由于點(diǎn)Q1、Q2關(guān)于 x軸對(duì)稱，則Q2(0,-)

假設(shè)在線段Q1Q2之間有點(diǎn)Q，如圖，延長(zhǎng)AQ交⊙N于點(diǎn)P，

∴∠APG=∠AQ1G=45°

而∠AQG＞∠APG

∴∠AQG＞45°

∴Q點(diǎn)不在線段Q1Q2之間；

若Q在線段Q1Q2之外時(shí)，同理可得∠AQG＜45°

∴點(diǎn)Q不在線段Q1Q2之外；

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(0,)或(0,-)