Question

【題目】已知：在△ABC中，AC=BC， ，過點C作CD⊥AB于點D，點E是AB邊上一動點（不同于點A、B），連接CE，過點B作CE的垂線交直線CE于點F，交直線CD于點G（如圖1）.

（1）求證：BG=CE；

（2）若點E運動到線段BD上時（如圖2），試猜想BG、CE的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請直接寫出你的結(jié)論；

（3）過點A作AH垂直于直線CE垂足為點H并交CD的延長線于點M（如圖3），找出圖中與BE相等的線段，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不變，BG=CE；（3）BE=CM，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）先由等邊對等角得出∠ABC=∠CAB，再由同角的余角相等證得∠ACE=∠CBG，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠BCD，由邊角邊可得△BCG≌△ACE，即可證得BG=CE；

（2）如圖②，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出BCG≌△ACE，就可以得出結(jié)論；

（3）如圖③，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCE=∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出結(jié)論；

證明：（1） ∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBG+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

∴∠A=∠BCD，

在△BCG和△CAE中，

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴BG=CE；

（2）不變．BG=CE；

∵AC=BC，

∴∠ABC=∠CAB，

∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠CBG+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∵在Rt△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°，

∴∠A=∠BCD，

在△BCG和△CAE中，

，

∴△BCG≌△ACE（ASA），

∴BG=CE；

（3）BE=CM，

理由：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠CAB=45°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵AH⊥CE，

∴∠AHC=90°，

∴∠HAC+∠ACE=90°，

∴∠BCE=∠HAC，

即：∠BCE=∠CAM，

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，

∴∠BCD=∠ACD=45°

∴∠ACD=∠ABC，

即：∠ACM=∠CBE，

在△BCE和△CAM中， ，

∴△BCE≌△CAM（ASA）

∴BE=CM．